*** Rangement dans des tiroirs

On range  $n$ objets dans une commode contenant  $n$ tiroirs, chaque objet étant placé  au hasard  et indépendamment des autres objets dans l'un de ces tiroirs .
L'objectif de cet exercice est de déterminer le nombre moyen de tiroirs vides à l'issue de cette expérience.

Partie A - Étude de cas particuliers

1. On suppose qu'il y a 2 tiroirs et 2 objets à ranger.
    a. On note $X$  la variable aléatoire qui compte le nombre de tiroirs vides à l'issue du rangement des 2 objets. Construire le tableau donnant la loi de  $X$ .
    b. En déduire l'espérance de $X$ .

2. On suppose qu'il y a 3 tiroirs et 3 objets à ranger dans la commode. Un rangement peut alors être assimilé à un 3-uplet de {1 ; 2 ; 3}. Par exemple, le 3-uplet (2 ; 1 ; 2) signifie que le premier objet est rangé dans le tiroir 2, le deuxième objet dans le tiroir 1 et le troisième objet dans le tiroir 2.
    a. Combien de rangements différents peut-on effectuer ?
    b. Combien de rangements laissant le tiroir 1 vide peut-on effectuer ?
    c. Pour $k\in \{1;2;3\}$ , on note $X_k$ la variable aléatoire qui vaut 1 si le tiroir  $k$ est vide et 0 sinon. Quelle est la loi de  $X_k$ ?
    d. On considère la variable aléatoire $X=X_1+X_2+X_3$ . Que vaut  $E(X)$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B - Cas général

On dispose désormais de $n$ objets que l'on répartit  au hasard et de manière indépendante dans les  $n$ tiroirs.

1. Pour $k\in \{1;2;\dots ;n\}$ , on note  $X_k$ la variable aléatoire qui vaut 1 si le tiroir  $k$ est vide et 0 sinon. Montrer que l'espérance de  $X_k$ vaut  ${\displaystyle \frac{(n-1{)}^n}{n^n}}$ .

2. En déduire le nombre moyen de tiroirs vides à l'issue de cette expérience.